E Euler foi a seguinte pergunta: poderia uma pessoa possivelmente conseguem atravessar uma única vez em cada ponte? Parecer foi dividido na época, e Euler deu a solução geral, que é válida para qualquer número de pontes e em qualquer distribuição dos ramos.O essencial aqui é que ele encontrou a solução, porque ele entendia que o problema não depende da precisão do mapa da cidade: ele afirmou que não era um problema de geometria: as distâncias, os comprimentos das pontes por exemplo, e os ângulos, não entram em jogo, e Euler estabelece a nova natureza do problema, usando a "geometria da posição do termo", expressão introduzida pela primeira vez por Leibniz para "determinar a posição e para a busca das propriedades que resultam desse posição, sem respeito às dimensões próprias "[Euler 1741].
Em outras palavras, a essência do problema reside na Figura 2.
Fig. 2
Este é o primeiro gráfico ea primeira manifestação da topologia. O problema é reduzida à sua essência uma estrutura geométrica, é transformado em uma estrutura mais flexível, o da topologia:
Se substituirmos cada banco por um ponto ou uma ponte (como símbolo do banco correspondente), e cada um por uma linha que une os bancos associados, que em seguida, substituir as Figuras 1 e 2. O problema é, então, para desenhar um caminho com um lápis a partir de uma cúpula dado - Digamos que um correspondente para o banco A, e terminando em uma cúpula dado e seguindo uma vez, e apenas uma vez, cada uma das linhas, o problema não tem solução . Com efeito, vamos imaginar que estamos a seguir - como deveriam - o caminho e chegar, em um ponto que chamaremos de B, o que corresponde a um dos bancos. Em seguida, é necessário sair de lá! Mas então por acoplamento os caminhos de chegada e de partida, observamos que a cada summmit intermediário, deve haver um número par de pontes. Como este não é o caso do mapa de Koenisberg, excursão de Euler é impossível.
Para resumir: a topologia Koenisberg é o apresentado na Figura 2. Podemos variar os dados geométricos (o comprimento dos ramos, a medição da superfície das ilhas), deformar o mapa da cidade, mas a estrutura topológica ea resposta resultante não muda.
Pela avenida Euler, matemática, de repente descobre um novo sentido de liberdade, que será sempre aplicado a formas e espaços: agora eles podem "torcer outra vez!"
Nesta disciplina matemática, já não distinguir entre duas figuras, dois espaços, se você pode passar de um para o outro por meio de uma deformação contínua - sem nenhum salto, nem corte. A topologia é como a matemática feita de borracha.
Fig. 3
A Figura 3 mostra um exemplo que muitas vezes resumem ao afirmar que a topologia é a área na qual você já não distinguir entre o copo eo pão do pequeno almoço.
O uso de gráficos, como o mostrado na Figura 2 possibilita a pose - com um diagrama - as questões em que apenas as combinações é de importância, apesar de sua complexidade, por exemplo, todas as questões que surgem a partir da organização das tarefas, ou redes (Figura 4). Você pode imaginar a técnica pode ter influência sobre a teoria de gráficos!
Fig. 4
Classificações - a obsessão de topólogos
Eu nós. O visitante casual a "Topologia" departamento do tesouro da caverna de Ali Baba pode muito bem ter a impressão de que ele pode jogar inocentemente com as várias peças de cordas, os nós. Mas como ele está errado! Nada é menos inocente, como Nabokov diz:
O mais difícil de nós é apenas uma parte enrolada de corda que é altamente resistente à unha. No entanto, o olho pode dominá-lo. Foi ele (Sebastian Knight) este nó, e ele estava prestes a ser desfeita, se pudesse encontrar o caminho para evitar a perda do segmento. E não apenas ele, mas tudo seria elaborado, tudo que ele poderia imaginar em relação aos nossos jovens as noções de espaço e de tempo, um e outro desses enigmas inventados pelo homem como enigmas, que em seguida, voltar à greve nos : bumerangues do absurdo.
V. Nabokov, a vida real de Sebastian Knight .
O tema de nós tem inspirado um imenso corpo de literatura no que muitos domínios: artístico [Coomaraswamy 1944], etnográfico, científico e antes de se tornar objeto de uma teoria matemática avançada [Belpoliti e Kantor 1996; Sossinski 1999].
Podemos pedir várias ilustrações de Albert Flocon, um artista e professor da escola Bauhaus, que tanto tem escrito e desenhado sobre o assunto de nós com a imaginação de um artista fascinado com topologia (Fig. 5). Podemos muito bem perguntar o que exatamente é a causa deste interesse universal.
Fig. 5
É verdade que nós somos uma maneira simples de escapar da obtusidade do espaço: a presença do nó derruba o meio em si. De labirintos de Leonardo para as iluminações medieval, e de jogos Eskimo às técnicas de pesca, o tema do nó é generalizada em todas as culturas do mundo. E este é um exemplo elementar de topologia: as deformações da corda são exatamente as deformações que são autorizadas para o topólogo.
O matemático maravilhas apenas como reconhecer a forma como um nó complexo é, na verdade, desfeita. Ou ainda, ele coloca um problema matemático simples que poderia facilmente ter sido um dos jogos de Alice (o jovem amigo de Lewis Carroll), quando ela foi através do espelho. Você pode deformar o nó de trevo (engate) da Figura 6 A de mudá-lo para o nó de trevo da Figura 6-B, que acontece de ser a sua própria imagem no espelho?
Fig. 6-A (esquerda) e 6-B (à direita, imagem em espelho)
Em meados do século XIX, a física tentou compreender a eletricidade, eo ambiente em que foi propagada: o espaço foi preenchido então? Será que o éter existe? Um físico chamado Thomson, o futuro Lord Kelvin, imaginou todo o átomo como um vórtice circular no meio do éter. Ela então se torna crucial para classificar esses nós, e esperamos que para recuperar a classificação dos elementos de Mendeleieff. Embora essas reflexões não foram concluídas com êxito em física (mesmo que você pode perceber, no últimos anos, um avatar no-las na teoria das cordas), os matemáticos tomaram conta da questão e tenha obtido, depois de longos esforços, a completa classificação de nós.
II. Duas superfícies. Vamos considerar que a esfera é a superfície de uma bola. Não se pode deformar continuamente a esfera, a fim de transformá-lo em um pão (conhecido como "toro" em matemática, Figura 4). A intuição pode sugerir, mas uma demonstração é necessária. Aqui vamos desenvolver o seguinte argumento, que nós vamos voltar mais tarde: aqui é uma propriedade que se verifica na esfera e não é sobre o toro: na esfera, qualquer laço pode ser espremido em um ponto, como na Figura 7 , embora este não é o caso do toro. Se as duas superfícies foram equivalentes, a propriedade deve ser verdadeiro ou falso para os dois.
Fig. 7
Matemáticos no início do século XIX, em seguida, perguntou: "Por que não tentar aplicar a superfícies a mesma classificação para nós?" Eles então começaram criando um verdadeiro bestiário de superfícies:
Um matemático confidenciou
Que uma banda de Moebius é unilateral,
E você vai ficar muito rir
Se você cortar pela metade
Para ele permanece em uma parte
Quando divididos
assim vai uma música de Tom Lehrer estudante de Cambridge, Massachusetts.
Fig. 8. garrafa de Klein
Fig. 9
Fig. 10
Flocon ainda tomou para si (para o divertimento) para cortar a fita de Moebius, em três (Fig. 9). Klein garrafa (Fig. 8), que corrige nem interior ou exterior, evoca outro refrão - também de Tom Lehrer:
Um matemático chamado Klein
Pensamento da banda de Moebius era divino,
Disse ele: "Se você cola
As bordas de dois
Você receberá uma garrafa esquisita como a minha
Classificação necessária e acabou por ser realizado por Riemann (1.826-1.866). O resultado foi que as superfícies podem ser classificadas de acordo com o número de buracos ao longo deles (o tipo de superfície), e que este número pode ser determinado "sem sair da superfície." Em outras palavras, uma formiga matemático pouco movimento através da superfície da figura 8, por exemplo, poderia determinar o tipo de superfície em que vive, sem deixar que a superfície.
III. Em qualquer dimensão. O "variedades", introduzido por Riemann lembram apenas localmente porções de espaço (como a esfera local se assemelha localmente um pedaço do mapa, mas não globalmente). Desta forma, muitos exemplos interessantes de topologia são produzidos. E desta forma, o conjunto das direções espaciais torna-se um novo espaço topológico (espaço topológico), o qual se assemelha a uma fita de Moebius.
Por outro lado, para cada uma das fases anteriores - nó, ponto, superfície - foram considerados os valores que tinham um "grau de liberdade", para o ponto zero, onde nenhum movimento é possível, um para o nó, e dois para as superfícies.
Este número de graus de liberdade é chamado de dimensão, assim os torus (Figura 7) pode então ser representado por um par de dois números, cada qual representa um ângulo: trata-se de uma variedade de dimensão 2.
Inversamente, graças a Riemann, podemos ver que aparecem espaços de dimensão quatro e cinco, etc Como o espaço-tempo da relatividade de Einstein, trazida à cena um espaço de dimensão 4, no início do século, fomos testemunhas de uma forma cultural.associa Salvador Dali o corpo de Cristo com o hipercubo ("Corpus Hypercubus") e Max Weber descreveu o "Interior da quarta dimensão". Não esqueçamos, porém, que essa libertação verdadeira mental que abriu o caminho para ambos os topologia moderna e uma parte da matemática contemporânea, permaneceu confidencial: o universo mental comum ainda é regulada e limitada pelo banal coordenadas de Descartes.
Algumas palavras estão em ordem aqui evocar a figura de Henri Poincaré - o fundador da topologia moderna e, em particular para a sua famosa conjectura que possivelmente está a caminho de ser resolvido [Perelman]: consiste na caracterização da esfera de dimensão três (análoga à esfera da Figura 7) por uma propriedade de loops análogas às descritas no ponto III.2. [ 2 ] IV. Formas, deformações e animações. Regressar antes geometria era capaz de fazer uso das animações virtual do computador, as maravilhas de várias formas foram representadas por modelos feitos de gesso ou de fio de aço, que ajudou o ensino da geometria (Figuras 12,13,14 , e M). Esses objetos provocou espanto. As modernas técnicas de visualização, desenvolvido pelos militares ou para os estúdios de Hollywood de Lucas Films, pode integrar as deformações em telas de computador: as deformações continuada de superfícies são diferenciados, ou seja, eles são substituídos por aproximações produzidas em intervalos fixos, então filmado em vídeo. O tempo do virtual corresponde à era da topologia, e os arquitectos estão lá tomando a inspiração (Bernard Cache, ele mesmo mencionado por Deleuze no que diz respeito à utilização do espaço e do território em [Deleuze 1988]).
O espaço é nosso terreno comum, e é impossível livrar-se de que, mesmo em nossos sonhos. O grande Mestre do universo é um arquiteto, e desde Galileu fomos imaginando ele falar e se comunicar na linguagem da matemática. E desde Riemann e Poincaré, ele pode sonhar com outros espaços, e prossiga para construí-los como um topólogo altamente talentoso. Esta disciplina está longe de esgotado seus recursos; Bachelard já era um portender de Lacan e seus nós borromeana:
Flocon tem como uma coleção de nós de papel em seu lugar que dá vontade de colocá-los à disposição de um psicanalista. Eu posso imaginar que os fios torcidos e atados, com arcos de tensão e espirais de liberação, são os instrumentos perfeitos para um estudo sobre a ligação de consciência [Bachelard, 1950].
Mais recentemente, as ciências cognitivas têm vindo a tentar criar modelos topológicos do funcionamento do cérebro (uma velha tradição de memória em comparação com um teatro [Yates 2001]).
Topologia se presta a comparações e metáforas, por sua flexibilidade está inscrita em sua própria estrutura: nós podemos deformar objetos, desde que seja feito com delicadeza e sutileza!
Temos sido capazes de ter uma idéia de um caminho de rede subterrânea de novas idéias, todo o caminho da Bauhaus - aqui representada pela Flocon - a topologia situacionista Asger Jorn [1960]. Talvez no futuro ele vai ser útil para a organização do espaço, criando uma ponte entre Floconian a construção do espaço individual e da organização da vida social?
NOTAS
[1 ] indivisível, por definição, para Euclides, Leibnitz, mas gostaria de acrescentar: "o ponto de possuir um lugar", situm habens [Leibniz, Euclidis Prota]. voltar ao texto
[2 ] Em termos mais precisos, conjectura de Poincaré afirma que, se uma variedade suave de dimensão três é tal que qualquer malha fechada pode ser continuamente reduzida a um ponto, então ele é equivalente para a esfera de dimensão três